Прямая. Луч

Прямая линия

Из всех линий, самой простой является прямая. Прямая не имеет ни начала, ни конца – она бесконечна.

Если согнуть лист бумаги, то линия сгиба будет частью прямой линии. Так же, представление о прямой может дать туго натянутая на двух опорных точках тонкая нить или луч света, выходящий из малого отверстия.

Для построения (изображения) прямых на чертеже пользуются линейкой:

как провести прямую линию с помощью линейки

Изобразить можно лишь часть прямой, а всю прямую мы представляем себе продолжающейся бесконечно в обе стороны.

Прямую обозначают одной строчной (маленькой) латинской буквой, например a, b, c, d, ... :

обозначение прямой маленькой латинской буквой d

И читают: прямая d.

Прямую можно также обозначать двумя точками, лежащими на ней. Отметим на прямой d две точки A и B:

обозначение прямой по двум её точкам A и B

Тогда эту прямую можно обозначить как AB или BA. Также можно сказать: на прямой d лежат точки A и B, точки A и B принадлежат прямой d или что прямая d проходит через точки A и B.

Обратите внимание, что точки, через которые проходит прямая, можно показывать, а можно и не изображать, чтобы не загромождать рисунок:

прямая линия с точками и без них

Точки можно не изображать не только у прямых, но и у любых других геометрических фигур, если это никак не отразится на понимании рисунка.

Через любые две точки можно провести только одну единственную прямую.

Пересекающиеся прямые

Если две прямые имеют общую точку, то говорят, что эти прямые пересекаются. Такие прямые называют пересекающимися:

пересекающиеся прямые в точке O

Прямые a и b пересекаются в точке O.

Пересечение – это точка, общая для двух или более геометрических фигур.

Если прямые пересекаются под прямым углом, то их называют перпендикулярными:

перпендикулярные прямые

В тексте перпендикулярные прямые обозначают знаком ⊥. Запись mn читается так: прямая m перпендикулярна прямой n.

Две прямые либо имеют только одну общую точку, в которой пересекаются, либо не имеют общих точек вообще.

Параллельные прямые

Две различные прямые на плоскости могут и не пересекаться, сколько бы их ни продолжали. Такие прямые называют параллельными:

параллельные прямые

Если прямые AB и CD (или a и b) параллельны, то это обозначают так: AB || CD (или a || b).

На рисунке ниже показано, как с помощью угольника и линейки можно провести параллельные прямые:

как нарисовать параллельные прямые

Свойства прямой

Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых.

прямые, проходящие через одну точку

Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

прямая с точкой B, принадлежащей ей, и точкой A, не принадлежащей ей

На рисунке изображена прямая h и две точки A и B. Точка B лежит на прямой h, а точка A нет.

Для краткости вместо слов точка B лежит на прямой h или точка B принадлежит прямой h можно использовать запись Bh, а вместо слов точка A не лежит на прямой h или точка A не принадлежит прямой h – запись A ∉ h. Символ ∈ заменяет слово принадлежит, а символ ∉ – не принадлежит.

Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Посмотрите на рисунок ниже:

прямая с тремя лежащими на ней точками: A, B, C

Вы видите прямую h и три точки A, B и С, расположенные на ней. Точка B лежит между точками A и C, она разделяет точки A и C. Можно также сказать, что точки A и C лежат по разные стороны от точки B. Точки B и C лежат по одну сторону от точки A, они не разделяются точкой A. Точки A и B лежат по одну сторону от точки C.

Луч

Луч – это часть прямой линии, которая расположена по одну сторону от какой-либо точки, лежащей на этой прямой. У луча есть начало, но нет конца.

Проведём прямую a и отметим на ней точку O:

прямая a с точкой O

Точка O, лежащая на прямой, делит её на две части. Каждую из этих частей называют лучом (или полупрямой) с началом в точке O. Точка называется начальной точкой, началом или вершиной данного луча. Также часто говорят, что луч исходит из данной точки, имея в виду, что эта точка является началом луча.

Луч обозначают либо строчной латинской буквой:

луч, обозначенный строчной латинской буквой

Либо двумя прописными латинскими буквами:

луч, обозначенный двумя прописными (большими) латинскими буквами

При этом на первом месте ставится буква, обозначающая начало луча, а на втором – буква, обозначающая какую-либо другую его точку: луч AB.

Посмотрим на следующий пример:

луч AB

Луч с началом в точке A можно обозначить как AB или AC.

Два луча с общим началом, которые дополняют друг друга до прямой, называют дополнительными.