Системы счисления

Система счисления (иначе называемая нумерацией) — это способ именования и записи чисел с помощью определённого набора символов, называемых цифрами.

Основание системы счисления — это количество цифр, которые используются в данной системе счисления для записи чисел.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Позиционными называются те системы счисления, в которых значение цифры зависит от её расположения в записи числа. В качестве примера позиционной системы счисления можно привести привычную для нас десятичную систему счисления. Например, в записи числа 2222 одна и та же цифра — 2 означает (последовательно справа налево) количество — единиц, десятков, сотен, тысяч.

Непозиционными называются те системы счисления, в которых значение цифры не зависит от её расположения в записи числа. В качестве примера непозиционной системы счисления можно привести достаточно широко применяющуюся в настоящее время, римскую нумерацию. Например, в записи числа CCC (триста) символ C в любом месте означает число сто.

Ниже мы рассмотрим 4 различных системы: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и римскую.

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная

В двоичной системе счисления основание равно 2, то есть для записи чисел используется всего 2 цифры — 0 и 1.

В восьмеричной системе основание равно 8, то есть для записи чисел используется 8 цифр — от 0 до 7.

В шестнадцатеричной системе основание равно 16, то есть для записи чисел используется 16 цифр — от 0 до 15. Цифры от 10 до 15 условились обозначать латинскими буквами в алфавитном порядке A, B, C, D, E, F.

Римская система счисления

Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохранилась до настоящего времени.

В римской нумерации для записи чисел употребляются следующие семь знаков:

I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000

Для записи чисел в римской нумерации используются следующие правила:

  • Если цифра, которая обозначает большее число стоит перед цифрой, которая обозначает меньшее число, то они складываются. Например, VI = 6, XV = 15, XVI = 16, CL = 150.
  • Если цифра, которая обозначает меньшее число стоит перед цифрой, которая обозначает большее число (в этом случае цифра обозначающая меньшее число не может повторяться), то меньшая цифра вычитается из большей. Например, IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900.
  • Подряд одна и та же цифра может ставиться не более трёх раз. Например, III = 3, LXXX = 80, MDCCCLXXXIII = 1883.

Чтобы выразить число в тысячах, с правой стороны, внизу ставят букву m (означает mille — тысяча). Таким образом, следующие числа: 3000, 5000, 25000 записываются так:

IIIm, Vm, XXVm

Перевод из десятичной системы счисления в любую другую

Чтобы выполнить перевод целого числа из десятичной системы в любую другую позиционную систему нужно:

  1. Разделить данное целое число на основание той системы счисления, в которую будет осуществлён перевод числа.
  2. Если результат деления меньше чем указанное основание системы счисления, то переходим к шагу 3. Если результат деления больше или равен основанию системы счисления, то делим результат на основание системы счисление.
  3. Получаем ответ: все полученные остатки + последний результат деления записываем в порядке, обратном порядку их получения.

Перевод из любой позиционной системы счисления в десятичную

Чтобы выполнить перевод целого числа из любой позиционной системы счисления в десятичную нужно представить число в виде сложения разрядных слагаемых. Цифры и разрядные единицы записываются в десятичной системе счисления.

Для тех кто не помнит, рассмотрим пример, как представить число (в десятичной системе) в виде сложения разрядных слагаемых:

Более подробно о сложении разрядных слагаемых можно прочитать здесь. О том, что такое возведение в степень можно прочитать здесь.

Ниже представлены примеры перевода целых чисел из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем в десятичную:

Двоичная арифметика

Арифметические действия в двоичной системе производятся по обычным для позиционных систем правилам, которые нам известны из десятичной арифметики, но, при этом используются таблицы сложения и умножения двоичной системы.

Таблица сложения

Таблица сложения в двоичной системе очень проста. Надо только помнить, что прибавление нуля не меняет число, а один плюс один, будет два.

Таблица умножения

Таблица умножения ещё проще. Здесь нужно твёрдо знать, что любое число, умноженное на нуль, есть нуль и что умножение на единицу не меняет числа.

Сложение многозначных чисел производится точно так же, как и в десятичной системе, то есть поразрядно, начиная с младшего. Например:

Вычитание в двоичной системе выполняется по таким правилам:

Пример:

Точки, поставленные над некоторыми разрядами уменьшаемого, показывают, что в двоичной системе единица помеченного разряда раздробляется на две единицы низшего разряда.

Умножение и деление двоичных чисел практически не отличается от умножения и деления чисел, записанных в десятичной системе счисления. Единственным отличием является то, что при умножении в столбик не приходится находить произведение первого множителя на значения последовательных разрядов второго множителя, так как значение этих разрядов 1 или 0. А при делении в столбик не нужно подбирать неполное делимое, так как учитывая специфику двоичных чисел, неполное делимое можно определить просто посмотрев на делимое.

Примеры: 1101111 · 101101 = ?, 111100 : 1010 = ?

Калькулятор

Для быстрого перевода числа из одной системы счисления в другую (кроме римской) вы можете воспользоваться нашим переводчиком: