Десятичные дроби

Дробь, знаменатель которой является степенью числа 10 (т. е. 10, 100, 1000, и так далее) , часто записывают в более простой форме. В этой форме знаменатель не записывается, а целая и дробная части отделяются друг от друга запятой. При этом условились считать, что целая часть правильной дроби равну 0:

Записанные в такой форме дроби называют десятичными дробями.

Запись десятичных дробей

Десятичные дроби записываются по тем же правилам, по которым записываются целые числа. Напомним, что в десятичной системе счисления значение каждой цифры зависит от разряда (позиции), в котором она записана. При этом единицы соседних разрядов отличаются между собой в 10 раз. Например десяток в 10 раз меньше сотни, единица в 10 раз меньше десятка. Если в каком-либо разряде (кроме высшего) отсутствуют единицы, то на его месте пишут нуль.

В записи десятичной дроби целая часть отделяется от дробной части запятой, т. е. сначала записывается целая часть, затем ставится запятая, и после неё записывается дробная часть. Поскольку единицы соседних разрядов отличаются между собой в 10 раз то, справа от целых единиц мы должны записать такие доли, которые в 10 раз меньше целой единицы, то есть десятые доли. Справа от десятых долей мы должны записать такие доли, которые в 10 раз меньше десятых, то есть сотые доли и так далее. Например десятичная дробь 5 целых и 3 десятых будет записана так:

5,3

Первый разряд справа после запятой называют разрядом десятых. Например, число 3,4 состоит из 3 целых и 4 десятых – читают три целых четыре десятых.

Второй разряд справа после запятой называют разрядом сотых. Например, дробь 0,72 читают ноль целых семьдесят две сотых. Число 0,72 состоит из 0 целых 7 десятых и 2 сотых.

Третий разряд справа после запятой называют разрядом тысячных, четвёртый – разрядом десятитысячных и т. д.

Цифры, стоящие справа от запятой, принято называть десятичными знаками.

Иногда вместо запятой в записи десятичной дроби ставят точку, например вместо 5,3 пишут 5.3 (подобно тому как в коммерческих расчётах вместо 13 рублей 22 копеек пишут: 13.22 руб.).

Чтобы лучше понять правила записи и чтения десятичных дробей, рассмотрим таблицу разрядов и приведённые в ней примеры записи чисел:

Обратите внимание, после запятой в записи десятичной дроби получается столько цифр, сколько нулей содержит знаменатель соответствующей ей обыкновенной дроби:

Перевод дробей из одного вида в другой

Перевод десятичной дроби в обыкновенную или смешанную очень прост. Главное правило здесь: как слышится, так и пишется. Например, 0,75 – это ноль целых, семьдесят пять сотых. Так и записываем: . Сокращаем её (на 25) и получаем обыкновенную дробь: . Точно таким же образом десятичная дробь легко переводится в смешанное число. Например 2,3 – две целых три десятых. Записываем: .

Если правильная дробь записывается в виде десятичной, то нужно принять во внимание, что у неё нет целых, значит, целая часть такой дроби будет равна 0. Например, .

Допустим у нас есть обыкновенная дробь . В знаменателе у неё стоит 100. Посчитаем сколько нулей содержится в знаменателе: два нуля. Отсчитываем в числителе справа налево две цифры и ставим запятую: 4,37

Ещё примеры:

Сравнение

Десятичные дроби сравнивают по тем же правилам, что и натуральные числа:

  • Из двух десятичных дробей больше та, у которой больше разрядов в целой части. Например, 647,78 > 43,952, потому что число 647 имеет больше разрядов в целой части, чем число 43.

  • Из двух десятичных дробей с одинаковым числом разрядов больше та, у которой больше первая (слева направо) из неодинаковых цифр. Например, 432,35 > 432,21, потому что у первого числа, цифра в разряде десятых больше, чем цифра в этом же разряде у второго числа.

  • Две десятичные дроби равны, если у них одинаковое число разрядов и цифры одинаковых разрядов равны. Например, числа 7832,0954 и 7832,0954 равны. В этом легко убедиться, записав их одно под другим:

    7832,0954
    7832,0954

Главное свойство десятичной дроби

Из основного свойства частного следует главное свойство десятичной дроби:

Величина десятичной дроби не изменится, если справа или слева приписать или зачеркнуть любое количество нулей.

Рассмотрим это правило на примере:

потому что

Добавляя или убирая с правой стороны десятичной дроби нули, мы тем самым увеличиваем или уменьшаем её числитель и знаменатель в одно и то же число раз.

На этом свойстве основано сокращение и приведение десятичных дробей к общему знаменателю.

Для сокращения десятичной дроби, нужно отбросить нули, находящиеся справа, так как от этого величина дроби не изменится, а её вид станет проще:

0,50000 = 0,5

Для приведения десятичных дробей к общему знаменателю, нужно уровнять число десятичных знаков нулями, так как от этого величина дробей не изменится, а знаменатели станут одинаковыми:

1,2 = 1,2000 4,4732 = 4,4732

Сложение и вычитание

Чтобы сложить или вычесть десятичные дроби, нужно записать их одну под другой (столбиком), подписывая цифры соответствующих разрядов друг под другом. Сложение и вычитание десятичных дробей производится так же, как сложение и вычитание натуральных чисел. В результате ставят запятую под запятой:

Если десятичные дроби имеют разные знаменатели, то можно привести их к одному знаменателю, а можно и не приводить:

Чаще всего приведение к одному знаменателю используется при вычитании одной десятичной дроби из другой:

Увеличение и уменьшение десятичной дроби в 10, 100, 1000 и т. д. раз

Чтобы увеличить десятичную дробь в 10, 100, 1000 и т. д. раз, то есть умножить на 10, 100, 1000 и т. д., нужно в записи дроби перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифры, приписав при необходимости нули справа.

Примеры:

1) Увеличив дробь 63,29 в 10 раз, получим дробь 632,9 так как:

Таким образом, увеличение дроби в 10 раз привело к переносу запятой на 1 цифру вправо.

2) Перенеся запятую в дроби 63,29 на 2 цифры вправо, получим число 6329, в 100 раз большее данной дроби 63,29:

3) Если учесть, что 63,29 = 63,2900, то, перенеся запятую в дроби 63,29 на 4 цифры вправо, получим число 632 900, в 10 000, или в 104 раз большее первоначальной дроби.

Таким образом, перенося запятую в записи дроби на 1, 2 и т. д. цифры вправо, мы увеличиваем эту дробь соответственно в 10, 100 и т. д. раз.

Чтобы уменьшить десятичную дробь в 10, 100, 1000 и т. д. раз, нужно в записи дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и т. д. цифры, приписав при необходимости нули слева.

Примеры:

1) Дробь 6,329 в 10 раз меньше дроби 63,29. Первая дробь получена из второй переносом запятой влево на 1 цифру.

2) Если в данной дроби 63,29 перенести запятую на 2 цифры влево, то получим дробь 0,6329, которая в 100 раз меньше данной.

Таким образом, перенося запятую в записи десятичной дроби на 1, 2 и т. д. цифры влево, мы уменьшаем эту дробь соответственно в 10, 100 и т. д. раз.

Умножение

Чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые, и в полученном произведении отделить справа запятой столько знаков, сколько их было в множимом и множителе вместе.

Например, нам нужно перемножить числа 2,13 и 1,2, сначала мы отбрасываем запятые и перемножаем их:

Теперь нам нужно посчитать сколько всего десятичных знаков было во множимом и множителе, и в полученном произведении отделить запятой нужное количество знаков:

Деление

Чтобы разделить десятичную дробь на целое число, нужно сначала разделить целую часть (если она есть), затем поставить запятую в неполном частном и приступить к делению дробной части:

В этом примере мы сначала разделили 13 на 4 и записали в частное 3, затем мы поставили в частном запятую, так как у нас в остатке осталась единица, которую на 4 мы уже поделить не могли, затем мы продолжили делить дробную часть. Особенность этого примера заклячается в том, что когда мы получили в частном 9 сотых, то обнаружили остаток, равный 2 сотым, мы раздробили этот остаток в тысячные доли, получили 20 тысячных и довели деление до конца.

Чтобы разделить десятичную дробь (или целое число) на десятичную дробь, нужно в делимом и в делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, после чего выполнить деление по правилу деления на целое число.

В качестве примера разделим 72,9 на 0,09:

Ещё одним способом разделить десятичную дробь (или целое число) на десятичную дробь, является вычисление частного равных им обыкновенных дробей:

Таким образом, частное двух десятичных дробей всегда можно записать в виде обыкновенной дроби.