Отличия алгебры от арифметики

Алгебра, так же как и арифметика, занимается нахождением решений различных вопросов, относящихся к числам. Но между этими двумя науками есть существенная разница:

  • Алгебра имеет дело не с числами, а с буквами, которые могут обозначать какие угодно числа.
  • В арифметике мы стараемся найти решение только одного данного вопроса с известными определенными числами. В алгебре - найти общее решение всех вопросов одного рода, какие бы числа не были даны.

Чтобы выяснить, что такое общее решение численного вопроса, решим задачу:

Два путешественника в одно и то же время выходят навстречу друг другу из двух городов, находящихся на расстоянии 240 километров. Первый проходит в день 25 километров, второй 35 километров. Через сколько дней после своего отправления они встретятся?

Каждый день они приближаются друг к другу на 25 + 35 = 60 километром; следовательно они пройдут весь разделяющий их путь и встретятся через 240 : 60 = 4 дня.

Предположим теперь, что требуется решить ту же задачу, но не над тремя данными числами 240, 25 и 25 километров, а над какими угодно числами. Это часто делается для того, чтобы решение вопроса имело более общее значение, то есть годилось бы для всех одинакового рода задач, какие бы целые или дробные числа не были даны. В таком случае мы уже не можем обозначать данные величины цифрами, имеющими одно известное числовое значение, а должны пользоваться какими-нибудь другими знаками, под которыми можно было бы подразумевать какие угодно числа. За такие знаки берут буквы латинского алфавита.

Назовем поэтому число километров между двумя городами буквой a, количество километров, проходимых в день первым путешественником, буквой b, а вторым c.

Решая задачу в этом общем виде, найдем, что оба путешественника каждый день приближаются друг к другу на b + c километров и, следовательно, встретятся через столько дней, сколько раз сумма b + c километров заключается в километрах разделяющего их пути, то есть через дней. Полученное выражение представляет общее решение данного вопроса. Подставив вместо букв числа и произведя действия, найдем прежний ответ: .

Буквенное или общее решение имеет следующие преимущества перед числовым или частным решением:

  1. Оно пригодно не для одной предложенной задачи, а для всех однотипных задач, какие бы числа в них не были даны. Например, если вместо 240, 25 и 35 даны числа 360, 20 и 40, то, подставив их в полученное выражение вместо a, b, и c, найдем, что искомое число дней равно и так далее.
  2. Из буквенного выражения ясно видно, какие действия и в каком порядке надо совершить над данными величинами для получения искомого ответа.
  3. Легко заметить, что при решении вопросов, подобных данному, имеет существенное значение не "именование" предметов или понятий, данных в задаче, но количественная их величина, а потому прямо переходим к тому, что нашу задачу можно обобщить.

Например, два предмета одновременно начинают двигаться из двух мест, находящихся на расстоянии a единиц длины (всё равно каких: метры, километры, футы и т.д.). Первый предмет проходит в каждую единицу времени (сутки, час, секунду) b, а второй c таких единиц длины. Через сколько единиц времени они встретятся? Решение, очевидно, будет прежнее: через единиц времени.

Эта запись называется общей формулой, она дает нам возможность любую новую задачу с подобными условиями решить без повторения рассуждений - одним вычислением.

Итак, алгебра имеет целью находить общие решения вопросов, относящихся к числам, а также обобщать эти вопросы.

Кроме того, алгебра занимается тем, чтобы эти общие решения представлять в наиболее простом и ясном виде, также она учит, как преобразовывать одно буквенное выражение в другое, тождественное с ним, то есть в такое, которое остается равным первому при каких угодно числах.