Умножение и деление многочленов

Умножение

Для умножения многочлена на одночлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Возьмём многочлен -2ab + 3a2 - 4b2 и одночлен -5ab. Произведением этих двух множителей будет выражение:

(-2ab + 3a2 - 4b2) · (-5ab),

теперь умножим отдельно каждый член многочлена на одночлен:

(-2ab) · (-5ab) + (3a2) · (-5ab) + (-4b2) · (-5ab) =
= 10a2b2 - 15a3b + 20ab3

Для умножения многочлена на многочлен, надо умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и все полученные произведения сложить.

Возьмём два многочлена 3x2 + xy и x - y. Произведением этих двух множителей будет выражение:

(3x2 + xy) · (x - y)

теперь нам нужно умножить отдельно каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена:

(3x2) · (x - y) + (xy) · (x - y) = 3x3 - 3x2y + x2y - xy2

Так как в нашем выражении появились подобные члены, мы можем упростить его с помощью приведения подобных членов:

3x3 - 2x2y - xy2

Деление

Чтобы разделить многочлен на одночлен, надо каждый член делимого разделить на делитель.

Возьмём в качестве делимого многочлен 12a5b3 - 20a4b7c2 + 4a3b5d, а в качестве делителя одночлен 4a3b2. Так как делимое равно делителю, умноженному на частное, то можно сделать вывод, что в этом случае:

  1. Частное должно быть многочленом.
  2. Первый член частного получится от деления первого члена делимого на делитель, второй член частного получится от деления второго члена делимого на делитель, и т. д. Следовательно

(12a5b3 - 20a4b7c2 + 4a3b5d) : 4a3b2 = 3a2b - 5ab5c2 + b3d