Разложение многочлена на множители

Разложение на множители

Разложение многочлена на множители - это операция, с помощью которой мы представляем данный многочлен в виде произведения, равного данному многочлену.

Приведём сначала несколько примеров уже выполненного разложения многочленов на множители:

ax + bx + cx = x(a + b + c)

x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

x2 - y2 = (x + y)(x - y)

x4 - 1 = (x2 + 1)(x + 1)(x - 1)

x4 + 4 = (x2 + 2x + 2)(x2 - 2x + 2)

Верность каждого из этих равенств легко проверить путём перемножения множителей, стоящих в правой части. Однако сама операция разложения многочлена на множители, т. е. нахождения произведения, равносильного данному многочлену, не всегда является лёгкой задачей.

Существует четыре основных способа разложения многочленов на множители:

  1. вынесение общего множителя за скобки
  2. группировка
  3. применение основных формул умножения
  4. введение новых вспомогательных членов

Вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобки - это преобразование алгебраической суммы в произведение с помощью распределительного закона умножения.

Многочлен ax + bx + cx, все члены которого содержат общий множитель x, можно представить, как произведение двух множителей, т. е. в следующем виде:

ax + bx + cx = x(a + b + c)

В этом выражении x выступает в качестве общего множителя, который, пользуясь распределительным законом умножения, мы и вынесли за скобки.

Рассмотрим более сложный пример, попробуем разложить на множители многочлен

20a3b4c2 - 45a4b2c3d - 15a5b3cd2.

  1. Рассматриваем коэффициенты 20, 45 и 15, нам нужно найти для них наибольший общий делитель, для данных чисел он равен 5. Число 5 и будет общим множителем для всех коэффициентов.
  2. Буквенный множитель a есть во всех трёх членах. Возьмём его в третий степени (a3), так как это его наименьшая степень, встречающаяся в данном многочлене. По такому же принципу возьмём множители b2 и c.
  3. Множитель d встречается только в двух членах из трёх, поэтому его мы в общий множить включить не сможем.

В итоге мы получили следующие общие множители 5, a3, b2 и c. Их произведение 5a3b2c представляет наибольший общий множитель (или наибольший общий делитель), который будет вынесен за скобки. В скобках будет частное от деления всех членов многочлена на их общий множитель:

5a3b2c(4b2c - 9ac2d - 3a2bd2)

Обратите внимание, что вынесение за скобки общего множителя - это действие обратное умножению многочлена на одночлен:

3ab(5b - 4a) = 15ab2 - 12a2b

Группировка

Бывают случаи, когда у всех членов многочлена есть общий многочленный множитель:

a(x - y) + b(x - y) + c(x - y).

В данном примере, общий множитель каждого из трёх членов это многочлен (x - y), который можно вынести за скобки:

a(x - y) + b(x - y) + c(x - y) = (x - y)(a + b + c)

Но чаще будут попадаться многочлены в таком виде:

x2 + ax + bx + ab

Его члены не имеют общего множителя, но мы можем сгруппировать его члены так, чтобы в каждой отдельной группе был общий множитель, например так:

x2 + ax + bx + ab = (x2 + ax) + (bx + ab) = x(x + a) + b(x + a)

или так:

x2 + ax + bx + ab = (x2 + bx) + (ax + ab) = x(x + b) + a(x + b)

В обоих случаях группировки мы пришли к тому, что в нашем выражении появился общий многочленный множитель, теперь мы можем этот множитель вынести за скобки:

x(x + a) + b(x + a) = (x + b)(x + a)

x(x + b) + a(x + b) = (x + a)(x + b)

Обратите внимание, что разница в нальной группировке членов не повлияла на результат разложения многочлена на множители.

Разложение многочлена на множители способом группировки - это группировка членов многочлена на группы с таким расчётом, чтобы каждая группа могла быть преобразована в произведение, и так, чтобы эти произведения имели бы общий множитель.