Квадрат суммы и разности

Квадрат суммы

Выражение (a + b)2 - это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2,

т. е. квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых. Например, требуется возвести в квадрат выражение 3x2 + 2xy, применяя только что выведенное правило, найдём:

(3x2 + 2xy)2 = (3x2)2 + 2 · 3x2 · 2xy + (2xy)2,

а, вычисляя теперь каждый член по правилам умножения и возведения одночлена в степень, найдём:

(3x2 + 2xy)2 = 9x4 + 12x3y + 4x2y3

Многочлен a2 + 2ab + b2 называется разложением квадрата суммы.

Квадрат разности

Выражение (a - b)2 - это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a - b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a - b)(a - b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2,

т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел. Например:

(2a2 - 5ab2)2 = (2a2)2 - 2 · 2a2 · 5ab2 + (5ab2)2 = 4a2 - 20a3b + 25a2b2

Многочлен a2 - 2ab + b2 называется разложением квадрата разности.

Разность квадратов

Выражение a2 - b2 - это разность квадратов чисел a и b. Выражение a2 - b2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

(a + b)(a - b) = a2 + ab - ab - b2 = a2 - b2,

т. е. произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно - как сумма двух чисел, а другое - как разность тех же чисел. Например:

(5a2 + 3)(5a2 - 3) = (5a2)2 - 32 = 25a4 - 9