Свойства степени с натуральным показателем

Возведение произведения в степень

Выражение (ab)n является степенью произведения множителей a и b. Это выражение можно представить в виде произведения степеней anbn. Докажем это на примере.

По определению степени:

Раскрываем скобки, а затем, используя переместительный закон умножения, переставляем сомножители так, чтобы одинаковые буквы стояли рядом:

Группируем отдельно множители a и множители b, и получаем:

Воспользовавшись определением степени, находим:

Следовательно:

(ab)n = anbn

Свойство степени произведения распространяется на степень произведения двух и более множителей:

(3a2b)2 = 9a4b2

Отсюда следует правило:

Чтобы возвести произведение в степень, можно отдельно возвести в эту степень каждый множитель и полученные результаты перемножить.

Возведение частного в степень

Для возведения в степень частного, надо возвести в степень отдельно делимое и делитель.

Если говорить иначе, то степень частного равна частному степеней:

возведение частного в степень

Общая формула возведения в степень частного будет выглядеть так:

формула возведение в степень частного

Возведение степени в степень

Для возведения степени числа в степень, надо возвести это число в степень, показатель которой равен произведению показателей степеней.

Например, нам нужно возвести 72 в третью степень:

(72)3

Чтобы нам не возводить 7 сначала во вторую степень, а после этого ещё в третью, вспоминаем, что степень числа это сокращённая форма умножения одинаковых сомножителей, а это значит, что:

(72)3 = 72 · 72 · 72 = 72+2+2 = 72·3 = 76

Из примера мы можем сделать вывод, что для возведения степени в степень, надо перемножить показатели степеней, а основание оставить без изменений. Это значит, что общая формула для возведения степени в степень будет выглядеть так:

(ax)y = axy